Cue-Struck Billiard Ball (Wincosin)

Sebuah bola billiard homogen dengan massa m dan jari-jari R bergerak diatas meja horizontal. Gravitasi bekerja padanya dengan arah kebawah. Koefisien gesek kinetis antara bola dengan meja adalah μ dan diasumsikan bahwa tidak ada usaha yang dilakukan oleh gaya gesek supaya menggelinding secara sempurna. Pada saat t=0, bola disodok menggunakan cue (tongkat billiard) yang memberikan impulse sesaat, Impulse sesaatnya adalah:

P= _-ε∫^+εF(t) dt

a) Apabila titik kontak antara cue dengan bola pada equator, arah gayanya menuju pusat bola. Hitunglah waktu saat bola mulai menggelinding. Berapakah kecepatan akhir dari bola billiard tersebut?
b) Pada ketinggian h berapakah bola akan menggelinding secara langsung (P.1.4)?

Solusi
a) Misalkan kerangka acuan berada pada pusat bola (Gambar S.1.4a). Karena arah gaya menuju pusat bola maka tidak ada torsi yang bekerja padanya saat t=0 (kita meninjau impuls sesaat).

 

Jadi pada keadaan awal pergerakan bola diberikan melalui persamaan:

dimana v(0) dan ω(0) adalah kecepatan dan kecepatan sudut saat t=0 dan I adalah momen inersia bola I=(2/5) mR². Sehingga kita mendapatkan v(0)=P/m dan  ω(0)=0. Gerak bola kemudian dapat dituliskan:

dimana f adalah gaya gesek yang mana f=-μmg x̂ ⃗dan ω= ω ŷ. Secara geometri persamaan S.1.4.2 dapat dituliskan: 

Bola tersebut akan menggelinding tanpa slip saat v= ω× R atau v=ωR. Dengan menggunakan pers. S.1.4.3 kita akan memperoleh t_R, yaitu waktu saat bola mulai menggelinding yang diberikan:

Kecepatan akhir bola bermassa dapat ditunjukkan:

b) berbeda dengan dengan kasus (a) Pada kasus ini kondisi awal bola memiliki torsi. Dengan memodifikasi persamaan 1.4.1 kita memperoleh:

Sekali lagi, dengan menggunakan kondisi awal v(0)= ω(0)R untuk menggelinding tanpa slip kita dapatkan (perhatikan gambar S.1.4b):

dan

Share this post